Как решать неравенства?

Как решать неравенства?
Денис Мульчин Денис Мульчин 21 мар 2013
Рейтинг статьи
Для голосования авторизуйтесь .
35,276 просмотров

Не все знают, как решать неравенства, которые по своей структуре имеют сходные и отличительные черты с уравнениями. Уравнение – упражнение, состоящее их двух частей, между которыми стоит знак равенства, а между частями неравенства может стоять знак «больше» или «меньше». Таким образом, прежде чем найти решение конкретного неравенства, мы должны понимать, что стоит учитывать знак числа (положительное или отрицательное), если возникает необходимость умножения обеих частей на какое-либо выражение. Этот же факт следует учитывать, если требуется для решения неравенства возводить в квадрат, поскольку возведение в квадрат проводится путем умножения.

Как решать систему неравенств

Намного сложнее решать системы неравенств, чем обычные неравенства. Как решать неравенства 9 класс, рассмотрим на конкретных примерах. Следует понимать, что перед тем, как решать квадратные неравенства (системы) или любые иные системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, после чего сопоставить их. Решением системы неравенства будет либо положительный, либо отрицательный ответ (имеет система решение или не имеет решения).

Задача - решить совокупность неравенств: 

Решим каждое неравенство по отдельности

Строим числовую прямую, на которой изображаем множество решений

Ответ:

Так как совокупность - это объединение множеств решений, то это множество на числовой прямой должно быть подчеркнуто минимум одной линией.

Решение неравенств с модулем

Данный пример покажет, как решать неравенства с модулем. Итак, у нас имеется определение:

Нам необходимо решить неравенство:

|x|>2

Прежде чем решить такое неравенство, необходимо избавиться от модуля (знака)

Запишем, основываясь данными определения:

или

Теперь следует решать каждую из систем по отдельности.

Построим одну числовую прямую, на которой изобразим множества решений.

В результате у нас получилась совокупность, объединяющая множество решений.

Ответ:

Решение квадратичных неравенств

Используя числовую прямую рассмотрим на примере решение квадратичных неравенств. У нас есть неравенство:

Нам известно, что графиком квадратного трехчлена является парабола. Так же нам известно, что ветви параболы направленные вверх, если а>0.

x2-3x-4 < 0

Пользуясь теоремой Виета находим корни х1 = - 1; х2 = 4

Изобразим параболу, вернее, ее эскиз.

Таким образом, мы выяснили, что значения квадратного трехчлена будут меньше 0 на отрезке от – 1 до 4.

Ответ:

У многих возникают вопросы при решении двойных неравенств типа g(x) < f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

На самом деле, методов решения неравенств несколько, поэтому вы можете использовать для решения сложных неравенств графический способ.

Решение дробных неравенств

Более тщательного подхода требуют к себе дробные неравенства. Это обусловлено тем, что в процессе решения некоторых дробных неравенств может измениться знак. Перед тем, как решать дробные неравенства, необходимо знать, что для их решения используется метод интервалов. Дробное неравенство необходимо представить таким образом, чтобы одна сторона от знака выглядела, как дробно-рациональное выражение, а вторая – «- 0». Преобразуя неравенство таким образом, мы получим в результате f(x)/g(x) > ( .

Решение неравенств методом интервалов

Методика интервалов основана на методе полной индукции, то есть, необходимо для нахождения решения неравенства перебрать все возможные варианты. Данный метод решения, возможно, и не потребуется ученикам 8-х классов, поскольку они должны знать, как решать неравенства 8 класс, которые представляют собой простейшие упражнения. А вот для более старших классов этот метод незаменим, так как помогает решить дробные неравенства. Решение неравенств с помощью данной методики основано и на таком свойстве непрерывной функции, как сохранение знака между значениями, в которых она обращается в 0.

Построим график многочлена. Это непрерывная функция, приобретающая значение 0 3 раза, то есть, f(x) будет равен 0 в точках x1, x2 и x3, корнях многочлена. В промежутках между этими точками, знак функции сохраняется.

Так как для решения неравенства f(x)>0 нам необходим знак функции, переходим к координатной прямой, оставив график.

f(x)>0 при x(x1; x2) и при x(x3; )

f(x)x( - ; x1) и при х (x2; x3)

На графике наглядно показаны решения неравенств f(x)f(x)>0 (синим цветом решение для первого неравенства, а красным – для второго). Чтобы определить Для определения знак функции на интервале, достаточно того, чтобы вам был известен знак функции в одной из точек. Данная методика позволяет быстро решать неравенства, в которых левая часть разложена на множители, потому что в таких неравенствах достаточно просто найти корни.

Дополнения от читателей

2000
Обновить комментарии
жeнa_Caтaны
жeнa_Caтaны2
Для голосования авторизуйтесь.
да, голова аж заболела(((
Умкa
Умкa2
Для голосования авторизуйтесь.
научитесь с помощью статьи - громко сказано, попробуй разберись...
G-ENot
G-ENot1
Для голосования авторизуйтесь.
спасибо, полезно!
DarkGhost
DarkGhost2
Для голосования авторизуйтесь.
а как на счет логарифмических? Их научите решать)))
AнгeлoчкA
AнгeлoчкA2
Для голосования авторизуйтесь.
хорошо, что все неравенства вместе описаны. Спасибо=)
Макс Прилучный
[цензура]
L;TH
L;TH1
Для голосования авторизуйтесь.
 
L;TH
L;TH1
Для голосования авторизуйтесь.
ПОЛНАЯ [цензура] 
L;TH
L;TH1
Для голосования авторизуйтесь.
[цензура]
яzzzzzzzzzzzzzzzz
яzzzzzzzzzzzzzzzz0
Для голосования авторизуйтесь.
[цензура] ничё н понять [цензура]
 
екан
екан0
Для голосования авторизуйтесь.
[цензура] че
Аскар Мазитов
спс помогли
екгкегкег
екгкегкег0
Для голосования авторизуйтесь.
[цензура]
Обновить комментарии
;-)