5.0 0.5 4 35

Как найти боковые стороны трапеции?

Елена Мельниченко
Елена Мельниченко
18 августа 2014
11038
Оцените:
Как найти боковые стороны трапеции?

Школьный курс геометрии предполагает знакомство со всеми видами четырехугольников, в том числе и с трапециями. Самыми базовыми задачами, которые касаются трапеций, являются поиск сторон и улов. В этой статье мы рассмотрим несколько примеров решения задач по поиску боковых сторон трапеции.

Трапеции бывают:

  • произвольные;
  • равнобедренные;
  • прямоугольные.

Решение задач о произвольной трапеции

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две – нет. Нахождение боковой стороны в произвольной трапеции зависит от исходных данных. Рассмотрим вариант, когда известны углы при основании и высота.

Задача 1

Дана трапеция АВСД, у которой проведены высоты ВК и СМ, равные 6 см. Углы при основании составляют 60 и 45 градусов. Требуется найти боковые стороны.

Итак, мы имеем два прямоугольных треугольника АВК и СДМ, у которых известно по одному катету и противоположному углу. Cинусы (отношение противоположного катета к гипотенузе) для значений 60 и 45 градусов – величины известные: sin 60 =√3 /2, а sin 45 = √2/2.

Получаем:

  1. sin 60 = BK / AB, следовательно АВ = ВК / sin 60
  2. АВ = 6 / √3/2 = 4√3 (см)
  3. sin 45 = СМ / СД, отсюда СД = СМ / sin 45
  4. СД = 6 / √2/2 = 6√2 (см)

Ответ: АВ = 4√3 см и СД = 6√2 см

Решение задач о прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, у которой углы при одной из боковых сторон равны 900. Рассмотрим пример, как найти боковую сторону трапеции, если известны три другие стороны.

Задача 2. Даны три стороны, одна из которых перпендикулярная боковая.

Допустим, нам дана прямоугольная трапеция АВСД, у которой АВ перпендикулярно ВС. Известно, что АВ = 12 см, ВС = 1 см, АД = 6 см. Необходимо найти большую боковую сторону.

Решение:

Из точки С опускаем проводим высоту СК и получаем прямоугольный треугольник СДК и прямоугольник АВСК. Поскольку у прямоугольника противоположные стороны равны СК = АВ = 12 см, а АК = ВС = 1 см.

Находим отрезок КД:

  • КД = АД – АК = 6 – 1 = 5 (см)

Согласно теореме Пифагора:

  • СД2=СК2+КД2=122+52=144+25=169
  • СД = √169 = 13 (см)

Ответ: СД = 13 см

Задача 3. Даны оба основания и угол при основании

Дана трапеция АВСД, у которой основания ВС и АД равны 6 и 10 см соответственно, угол ВАД – прямой, а СДА равен 45 градусов. Найдите меньшую боковую сторону.

  1. Проводим высоту СК и получаем прямоугольный треугольник СКД и прямоугольник АВСК. Поскольку у прямоугольника противоположные стороны равны АК = ВС = 6 см.
  2. КД = АД – АК = 10 – 6 = 4 см
  3. cos 45 = √2/2 = КД / СД, отсюда СД = КД / cos 45
  4. Получаем СД = 4/√2/2 = 4√2 (см)

Ответ: СД = 4√2 см

Решение задач о равнобедренной трапеции

Равнобедренной называют трапецию, у которой боковые стороны равны. Для того чтобы понять, как находить их, рассмотрим следующие примеры

Задача 4. Даны оба основания и высоты

Дана трапеция АВСД, у которой АВ = СД, а ВК и СМ – высоты. ВС = 9 см, АД = 19 см, а ВК = СМ = 12 см. Найдите боковую сторону.

Докажем, что треугольники АВК и ДСМ равны. По условию АВ = СД, ВК = СМ. Так как трапеция равнобедренная, углы ВАК и СДМ равны. Поскольку ВК и СМ высоты, то данные треугольники прямоугольные. Значит угол АВК = 180 – (90 + ВАК), а угол МСД = 180 – (90+СДМ), а так как ВАК и СДМ равны, то и АВК и МСД тоже. Итак, треугольники АВК и ДСМ и ДСМ равны по двум сторонам и углу между ними.

Найдем отрезки АК и МД.

  • АК = МД = (АД – ВС) /2 = (19-9)/2 = 5 (см)

По теореме Пифагора:

  • АВ2=СД2=ВК2 +АК2
  • АВ2=СД2=122+52=144+25=169
  • АВ = √ 169 = 13 (см)

Ответ: 13 см.

Задача 5. Даны оба основания и острый угол

Дана трапеция АВСД, у которой АВ и СД равны. ВС = 12 см, АД = 27 см, а угол при основании 60 градусов. Найдите боковую сторону.

Проведем высоту ВК.

АК = (АД - ВС) /2 = (27-12) /2 = 7,5 (см)

  • cos 60 = AK / AB, следовательно АВ = АК / cos 60
  • АВ = 7,5/0,5 = 15 (см)

Ответ: 15 см

Задача 6. Даны периметр и средняя линия.

Дана равнобедренная трапеция АВСД, у которой периметр равен 80, а средняя линия КМ – боковой стороне. Необходимо найти боковую сторону.

Из условия известно, что Р = 2 х АВ + ВС + АД.

Известно, что длина серединной линии равна полусумме оснований, то есть КМ= (ВС+АД)/2. Отсюда ВС + АД = 2 х АК = 2 х АВ

По условию СК = АВ. Подставляем все данные в формулу периметра.

  • Р = 2 х АВ + 2 х АВ = 80
  • 4 х АВ = 80
  • АВ = 20 (см)

Ответ: 20 см

Как видно из примеров, большинство задач о трапециях сводится к решению задач о прямоугольных треугольниках.

Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!