5.0 0.5 3.5 12

Как найти диагональ трапеции?

Наталия Худякова
Наталия Худякова
18 января 2013
42061
Оцените:
Как найти диагональ трапеции?

Прежде, чем разбираться, как найти диагональ трапеции, вспомним, что такое трапеция. В планиметрии трапецией называют четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны друг другу. Эти параллельные стороны называют основаниями трапеции, а остальные — боковыми сторонами. Боковые стороны могут быть одинаковыми, тогда мы имеем дело с равнобедренной трапецией.

Далее подробно разберем порядок нахождения длины диагоналей для общего случая — неравнобедренной трапеции. При этом будем исходить из того, что исходными данными являются длины всех четырех сторон трапеции, углы у основания неизвестны.

Расчет диагонали трапеции

Трапеция

В изображенной на рисунке трапеции ABCD имеются две диагонали AC и BD. Порядок нахождения их длины одинаков, поэтому рассмотрим все на примере нахождения диагонали BD, противолежащей ˂BAD.

Диагональ BD одновременно является стороной треугольника ABD и может быть рассчитана по теореме косинусов с помощью формулы:

BD = √(AB2+AD2-2AB.AD.cos ˂BAD)

В этой формуле нам известны все величины, кроме косинуса ˂BAD. Чтобы вычислить его, нам необходимо будет выполнить небольшое преобразование рисунка. «Вырежем» из исходной трапеции прямоугольник BNMC. В результате получим треугольник ABD', в котором сторона BD' будет равна стороне трапеции CD.

Трапеция

˂BAD' в треугольнике равен ˂BAD в трапеции, так как никаких преобразований с треугольником ABN мы не выполняли. Итак, в этом треугольнике ABD' сторона AB нам известна, сторона BD' = CD, а сторона AD' = AD – NM = AD – BC.

Получается, что по теореме косинусов cos ˂BAD = cos ˂BAD' = (AB2 + AD'2 – BD'2)/2AB.AD' = (AB2 +(AD – BC)2 – CD2)/2AB.(AD – BC)

Подставив теперь полученное выражение в найденную ранее формулу, получим:

BD = √(AB2+AD2-2AB.AD.cos ˂BAD) = √(AB2+AD2-2AB.AD.(AB2 +(AD – BC)2 – CD2)/2AB.(AD – BC)) = √(AB2 + AD2 – AD.(AB2 +(AD – BC)2 – CD2)/(AD – BC)) = √(AB2 + AD2 – AD.(AD – BC)2/(AD – BC) – AD.(AB2 – CD2)/(AD – BC)) = √(AB2 + AD2 – AD2 + AD.BC – AD.(AB2 – CD2)/(AD – BC)) = √(AB2 + AD.BC – AD.(AB2 – CD2)/(AD – BC))

BD = √(AB2 + AD.BC – AD.(AB2 – CD2)/(AD – BC))

Полученная формула диагонали трапеции справедлива для любых значений длин сторон исходного четырехугольника.

Для второй диагонали формула соответственно примет вид:

AC = √(CD2 + AD.BC – AD.(CD2 – AB2)/(AD – BC))

Диагональ равнобедренной трапеции

Если вас интересует, как найти диагональ равнобедренной трапеции, получившуюся формулу можно значительно упростить. Ведь в равнобедренной трапеции AB = CD, следовательно AB2 – CD2 = 0 и формула длины диагонали приводится к виду:

BD = √(AB2 + AD.BC)

Диагонали равнобедренной трапеции равны друг другу, поэтому вторая диагональ находится по той же формуле.

В том случае, если исходными данными являются длины оснований трапеции, одна из боковых сторон и углы при основании, то задача нахождения диагонали трапеции сводится к расчету стороны треугольника по теореме косинусов.

Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!