5.0 0.5 3 15

Как найти острый угол параллелограмма?

Екатерина Ермолаева
Екатерина Ермолаева
1 октября 2014
3197
Оцените:
Как найти острый угол параллелограмма?

Параллелограммом называется такой четырехугольник, в котором противоположные стороны попарно параллельны.

Параллелограмм обладает всеми свойствами четырехугольников, но кроме этого имеет и свои отличительные особенности. Зная их, мы можем с легкостью находить как стороны, так и углы параллелограмма.

Свойства параллелограмма

  1. Сумма углов в любом параллелограмме, как и в любом четырехугольнике, равна 360°.
  2. Средние линии параллелограмма и его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Эту точку принято называть центром симметрии параллелограмма.
  3. Противоположные стороны у параллелограмма всегда равны.
  4. Также у этой фигуры всегда равны противоположные углы.
  5. Сумма углов, которые прилегают к любой из сторон параллелограмма, всегда составляет 180°.
  6. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон. Это выражается формулой:
    • d12 + d22 = 2 (a2+b2), где d1 и d2 - диагонали, a и b - смежные стороны.
  7. Косинус тупого угла всегда меньше нуля.

Как найти углы заданного параллелограмма, применяя эти свойства на практике? И какие еще формулы могут нам в этом помочь? Рассмотрим конкретные задания, в которых требуют: найдите величины углов параллелограмма.

Нахождение углов параллелограмма

Случай 1. Известна мера тупого угла, требуется найти острый угол.

Пример: В параллелограмме ABCD угол A равен 120°. Найдите меру остальных углов.

Решение: Пользуясь свойством № 5, мы можем найти меру угла B, смежного с тем углом, который дан в задании. Он будет равен:Углы параллелограмма 1

  • 180°-120°= 60°

А теперь, пользуясь свойством №4, мы определяем, что два оставшихся угла C и D противоположны тем углам, которые мы уже нашли. Угол C противоположен углу A, угол D - углу B. А следовательно они попарно им равны.

  • Ответ: B = 60°, C = 120°, D=60°

Случай 2. Известны длины сторон и диагонали

В таком случае нам необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

Мы можем сначала по формуле вычислить косинус нужного нам угла, а потом по специальной таблице найти, чему равен сам угол.

Для острого угла формула такая:Углы 2

  • cosa = (А² + В² - d²) / (2 * А * В), где
  • а - это искомый острый угол,
  • А и В - стороны параллелограмма,
  • d - меньшая диагональ

Для тупого угла формула немного меняется:

  • cosß = (А² + В² - D²) / (2 * А * В), где
  • ß - это тупой угол,
  • А и В - стороны,
  • D - большая диагональ

Пример: необходимо найти острый угол параллелограмма, стороны которого равны 6 см и 3 см, а меньшая диагональ равна 5.2 см

Подставляем значения в формулу для нахождения острого угла:

  • cosa = (62 + 32 - 5.22) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) = 17.96/36 ~ 18/36 ~1/2
  • cosa = 1/2. По таблице выясняем, что искомый угол равен 60°.
  • Ответ: 60°
Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!