5.0 0.5 5 40

Как найти площадь фигуры?

Галина Девяткина
Галина Девяткина
11 ноября 2014
7190
Оцените:
Как найти площадь фигуры?

Смотрите видео

Как найти площадь фигуры?

Знать и уметь рассчитывать площади различных фигур необходимо не только для решения простых геометрических задач. Не обойтись без этих знаний и при составлении или проверке смет на ремонт помещений, расчета количества необходимых расходных материалов. Поэтому давайте разберемся, как находить площади разных фигур.

Площадь

Часть плоскости, заключенная внутри замкнутого контура, называется площадью этой плоскости. Выражается площадь количеством заключенных в ней квадратных единиц.

Чтобы вычислить площадь основных геометрических фигур, необходимо использовать правильную формулу.

Площадь треугольника

Обозначения:

  • S - искомая площадь,
  • a, b, c - длины сторон треугольника,
  • h - высота искомого треугольника,
  • γ - угол, находящийся между стороной a и стороной b,
  • r - радиус окружности (вписанной в треугольник),
  • ПлощадьR - радиус окружности (описанной вокруг треугольника),
  • p - половина периметра треугольника.
  1. Если известны h, a, то площадь искомого треугольника определяется как произведение длин стороны и высоты треугольника, опущенной к этой стороне, разделенное пополам: S=(a·h)/2
  2. Если известны a, b, c, то искомая площадь рассчитывается по формуле Герона: корень квадратный, взятый из произведения половины периметра треугольника и трех разностей половины периметра и каждой стороны треугольника: S = √(p·(p - a)·(p - b)·(p - c)).
  3. Если известны a, b, γ, то площадь треугольника определяется как половина произведения 2-х сторон, умноженная на значение синуса угла между этими сторонами: S=(a·b·sin γ)/2
  4. Если известны a, b, c, R, то искомая площадь определяется как деление произведения длин всех сторон треугольника на четыре радиуса описанной окружности: S=( a·b·c)/4R
  5. Если известны p, r, то искомая площадь треугольника определяется умножением половины периметра на радиус вписанной в него окружности: S=p·r

Площадь квадрата

Обозначения:

  • S - искомая площадь,Площадь
  • a - длина стороны,
  • d - длина диагонали.
  1. Если известна сторона, то площадь данной фигуры определяется как квадрат длины его стороны: S=a2
  2. Если известна d, то площадь квадрата определяется как половина квадрата длины его диагонали: S=d2/2

Площадь прямоугольника

Обозначения:

  • S - определяемая площадь,
  • a, b - длины сторон прямоугольника.
  1. Если известны a, b, то площадь данного прямоугольника определяется произведением длин двух его сторон: S=a·b
  2. Если длины сторон неизвестны, то площадь прямоугольника нужно разбить на треугольники. В этом случае площадь прямоугольника определяется как сумма площадей составляющих его треугольников.

Площадь параллелограмма

Площадь

Обозначения:

  • S - искомая площадь,
  • a, b - длины сторон,
  • h - длина высоты данного параллелограмма,
  • d1, d2 - длины двух диагоналей,
  • α – угол, находящийся между сторонами,
  • γ - угол, находящийся между диагоналями.
  1. Если известны a, h, то искомая площадь определяется перемножением длин стороны и высоты, опущенной на эту сторону: S=a·h
  2. Если известны a, b, α, то площадь параллелограмма определяется перемножением длин сторон параллелограмма и значения синуса угла между этими сторонами: S=a·b·sin α
  3. Если известны d1, d2, γ то площадь параллелограмма определяется как половина произведения длин диагоналей и значения синуса угла между этими диагоналями: S=(d1·d2·sinγ)/2

Площадь ромба

Площадь

Обозначения:

  • S - искомая площадь,
  • a - длина стороны,
  • h - длина высоты,
  • α - меньший угол между двумя сторонами,
  • d1, d2 - длины двух диагоналей.
  1. Если известны a, h, то площадь ромба определяется умножением длины стороны на длину высоты, которая опущена на эту сторону: S=a·h
  2. Если известны a, α, то площадь ромба определяется перемножением квадрата длины стороны на синус угла между сторонами: S=a2·sin α
  3. Если известны d1 и d2, то искомая площадь определяется как половина произведения длин диагоналей ромба: S=(d1·d2)/2

Площадь трапеции

Обозначения:

  • S - искомая площадь,Площадь
  • a, b - длины 2-х оснований трапеции,
  • c, d - длины левой и правой сторон трапеции,
  • h – высота трапеции,
  1. Если известны a, b, c, d, то искомая площадь определяется по формуле: S= (a+b) /2 *√ [c2- ( ( (b-a)2+c2-d2) / ( 2(b-a) )2].
  2. При известных a, b, h, искомая площадь определяется как произведение половины суммы оснований и высоты трапеции: S=(a+b)/2·h

Площадь выпуклого четырехугольника

Обозначения:

  • S - искомая площадь,
  • d1, d2 – длины диагоналей данного четырехугольника,
  • α - угол между диагоналями,
  • p=(a+b+c+d)/2 – половина периметра выпуклого четырехугольника,
  • a и b, c и d - длины каждой из сторон выпуклого четырехугольника,Площадь
  • θ=(α+β)/2 – половина суммы двух противоположных углов выпуклого четырехугольника,
  • r – радиус окружности, вписанной в выпуклый четырехугольник.
  1. Если известны d1, d2, α, то площадь выпуклого четырехугольника определяется как половина произведения диагоналей четырехугольника, умноженная на величину синуса угла между этими диагоналями: S=(d1· d 2·sin α)/2
  2. При известных p, r площадь выпуклого четырехугольника определяется как произведение полупериметра четырехугольника на радиус окружности, вписанной в этот четырехугольник: S=p·r
  3. Если известны a, b, c, d, θ, то площадь выпуклого четырехугольника определяется как корень квадратный из произведений разницы полупериметра и длины каждой стороны за минусом произведения длин всех сторон и квадрата косинуса половины суммы двух противоположных углов: S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d ) - abcd·cos2((α+β)/2)

Площадь круга

Обозначения:

  • S - искомая площадь,Площадь
  • r - длина радиуса,
  • d - длина диаметра.

Если известен r, то искомая площадь определяется как произведение числа π на радиус в квадрате: S=π r2

Если известна d, то площадь круга определяется как произведение числа π на квадрат диаметра, поделенное на четыре: S=(π·d2)/4

Площадь сложной фигуры

Сложную можно разбить на простые геометрические фигуры. Площадь сложной фигуры определяется как сумма или разность составляющих площадей. Рассмотрим, к примеру, кольцо.

Обозначение:

  • S – площадь кольца,
  • R, r – радиусы внешней окружности и внутренней соответственно,
  • D, d – диаметры внешней окружности и внутренней соответственно.

Для того чтобы найти площадь кольца, надо из площади большего круга отнять площадь Площадьменьшего круга. S = S1-S2 = πR2-πr2 = π (R2–r2).

Таким образом, если известны R и r, то площадь кольца определяется как разница квадратов радиусов внешней и внутренней окружностей, умноженная на число пи: S=π(R2–r2).

Если известны D и d, то площадь кольца определяется как четверть разницы квадратов диаметров внешней и внутренней окружностей, умноженная на число пи: S= (1/4)(D2-d2) π.

Площадь закрашенной фигуры

Предположим, что внутри одного квадрата (А) находится другой (Б) (меньшего размера), и нам нужно найти закрашенную полость между фигурами "А" и "Б". Скажем так, "рамку" маленького квадрата. Для этого:

  1. Находим площадь фигуры "А" (вычисляется по формуле нахождения площади квадрата).
  2. Аналогичным образом находим площадь фигуры "Б".
  3. Вычитаем из площади "А" площадь "Б". И таким образом получаем площадь закрашенной фигуры.

Теперь вы знаете, как находить площади разных фигур.

Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!