5.0 0.5 3 40

Как найти синус?

Галина Девяткина
Галина Девяткина
26 ноября 2014
16259
Оцените:
Как найти синус?

Смотрите видео

Как найти синус?

Изучение геометрии помогает развивать мышление. Этот предмет обязательно входит в школьную подготовку. В жизнедеятельности знание этого предмета может пригодиться - например, при планировке квартиры.

Из истории

В рамках курса геометрии изучается также тригонометрия, которая исследует тригонометрические функции. В тригонометрии мы изучаем синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы угла.

Но на данный момент начнем с самого простого – синуса. Давайте рассмотрим более детально самое первое понятие - синус угла в геометрии. Что такое синус и как его найти?

Понятие «синус угла» и синусоиды

Синус угла – это соотношение значений противоположного катета и гипотенузы прямоугольного треугольника. Это прямая тригонометрическая функция, которая на письме обозначается как «sin (x)», где (х) – угол треугольника.

На графике синус угла обозначается синусоидой со своими особенностями. Синусоида выглядит как непрерывная волнообразная линия, которая лежит в определенных рамках на плоскости координат. Функция нечетная, поэтому симметрична относительно 0 на плоскости координат (выходит из начала отсчета координат).

Область определения этой функции лежит в диапазоне от -1 до +1 на декартовой системе координат. Период функции синус угла составляет 2 Пи. Это означает, что каждые 2 Пи рисунок повторяется, и синусоида проходит полный цикл.

Уравнение синусоиды

  • sin х = a / c
  • где а – противолежащий к углу треугольника катет
  • с – гипотенуза прямоугольного треугольника

Свойства синуса угла

  1. sin (x) = - sin (x). Эта особенность демонстрирует, что функция симметрична, и если отложить на системе координат в обе стороны значения х и (–х), то ординаты этих точек будут противоположными. Они будут находиться на равном расстоянии друг от друга.
  2. Еще одной особенностью этой функции является то, что график функции возрастает на отрезке [- П/2 + 2 Пn]; [П/2 + 2Пn], где n – любое целое число. Убывание графика синуса угла будет наблюдаться на отрезке: [ П/2 + 2 Пn]; [ 3П/2 + 2Пn].
  3. sin (x) > 0, когда х лежит в диапазоне (2Пn, П + 2Пn)
  4. (x) < 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Значения синусов угла определяются по специальным таблицам. Созданы такие таблицы для облегчения процесса подсчета сложных формул и уравнений. Она легка в использовании и содержит значения не только функции sin (x), но также и значения других функций.

Более того, таблица стандартных значений этих функций включена к обязательному изучению на память, как таблица умножения. Особенно это актуально для классов с физико-математическим уклоном. В таблице можно увидеть значения основных используемых в тригонометрии углов: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 и 360 градусов.

значение угла α (градусов) 0 15 30 45 60 75 90 120 135 150 180 270 360
значение угла α в радианах (через число пи) 0 π/12 π/6 π/4 π/3 5π/12 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2
sin (синус) 0 √3-1 /2√2 1/2 √2/2 √3/2 √3+1 /2√2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0

Также существует таблица, определяющая значения тригонометрических функций нестандартных углов. Пользуясь разными таблицами, можно без труда вычислить синус, косинус, тангенс и котангенс некоторых углов.

С тригонометрическими функциями составляются уравнения. Решать эти уравнения легко, если знать простые тригонометрические тождества и приведения функций, например, такие, как sin (П/2 + х) = cos (x) и другие. Для таких приведений также составлена отдельная таблица.

Как найти синус угла

Когда стоит задача найти синус угла, а по условию у нас есть только косинус, тангенс, или котангенс угла, мы легко можем вычислить нужное с помощью тригонометрических тождеств.

  • sin2x + cos2x = 1

Исходя из этого уравнения, мы можем найти как синус, так и косинус, в зависимости от того, какое значение неизвестно. У нас получится тригонометрическое уравнение с одним неизвестным:

  • sin2x = 1 - cos2x
  • sin x = ± √ 1 - cos2x
  • ctg2x + 1 = 1 / sin2x

Из этого уравнения можно найти значение синуса, зная значение котангенса угла. Для упрощения замените sin2x = у, и тогда у вас получится простое уравнение. Например, значение котангенса равно 1, тогда:

  • 1 + 1 = 1/у
  • 2 = 1 / у
  • 2у = 1
  • у = 1/2

Теперь выполняем обратную замену игрека:

  • sin2x = ½
  • sin x = 1 / √2

Поскольку мы взяли значение котангенса для стандартного угла (450), полученные значения можно проверить по таблице.

Если у вас дано значение тангенса, а нужно найти синус, поможет еще одно тригонометрическое тождество:

  • tg x * ctg x = 1

Из этого следует, что:

  • ctg x = 1 / tg x

Для того чтобы найти синус нестандартного угла, например, 2400, необходимо воспользоваться формулами приведения углов. Мы знаем, что π у нас соответствует 1800. Таким образом, мы выразим наше равенство с помощью стандартных углов путем разложения.

  • 2400 = 1800 + 600

Нам необходимо найти следующее: sin (1800 + 600). В тригонометрии есть формулы приведения, которые в данном случае пригодятся. Это формула:

  • sin (π + х) = - sin (х)

Таким образом, синус угла 240 градусов равен:

  • sin (1800 + 600) = - sin (600) = - √3/2

В нашем случае, х = 60, а П, соответственно, 180 градусам. Значение (-√3/2) мы нашли по таблице значений функций стандартных углов.

Таким образом можно разложить нестандартные углы, например: 210 = 180 + 30.

В учебниках и интернете можно встретить множество формул для расчета тригонометрических уравнений – вычитание, сложение, произведение и деление тригонометрических функций различных углов друг на друга, вознесение в степени и преобразования одной функции в другую с помощью простых тождеств и многие другие операции.

Дополнительную информацию касательно синусов и косинусов можно получить в статьях:

Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!