5.0 0.5 4 12

Как найти синус угла треугольника?

Наталья Козлова
Наталья Козлова
31 августа 2014
1298
Оцените:
Как найти синус угла треугольника?

Чтобы найти синус угла прямоугольного треугольника, нужно вспомнить, что такое синус по определению. А определение очень простое: синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Как вычислять синусы

Если мы имеем треугольник АВС, у которого А – прямой угол, то стороны АВ и АС будут катетами, а сторона ВС – гипотенузой. Значит, по определению, синус угла В равен отношению катета АС к гипотенузе: sinB = AC/BC, а синус другого угла sinC = AB/BC.

В прямоугольном треугольнике функции углов вычислять удобно: не нужны никакие дополнительные построения. Достаточно знать длины нужных сторон. Но чаще известна только часть необходимых данных, остальные нужно искать. Рассмотрим, как это сделать. 

Ищем синус по двум катетам

Берём тот же самый треугольник АВС с прямым углом А, в котором нам известны размеры катетов: AB=a, AC=c. Чтобы вычислить синус угла С, нужно катет поделить на гипотенузу:

  • sinC = AB/BC=a/BC  (1).

Но гипотенузу придётся считать по теореме Пифагора:

  • BC=√(AB²+AC²)=√(a²+b²). (2)

Поставляем найденное значение гипотенузы (2) в выражение (1), получаем ответ:

  • sinC = a/√(a²+b²).

Ищем синус по гипотенузе и прилегающему катету

Теперь в том же треугольнике нам нужно найти синус того же угла С, но известны при этом гипотенуза BC=b и катет AC=с. С помощью теоремы Пифагора: AB²+AC²=BC² ищем катет AB:

  • AB = √(b²-c²).

Теперь подставляем найденное значение АВ в формулу для синуса:

  • sinC = AB/b = √(b²-c²)/b.

Вычисление синуса по одной стороне и острому углу

В треугольнике АВС с прямым углом А известен угол В=β и катет АC=c. Нужно найти синус угла С.

Способ 1.

Самое простое – если вспомнить, что сумма всех углов в треугольнике равна 180°:

  • А+В+С=180°.
  • Угол А=90°, В = β, значит,
  • С=180°-90°- β = 90°- β.
  • Отсюда sinC=sin(90°- β).

Способ 2.

Но можно пойти и другим путём:

  • Sinβ=AC/BC; Sinβ =c/BC. Отсюда:
  • BC= с/Sinβ.

Из теоремы Пифагора AB²+AC²=ВС² находим гипотенузу:

  • AB=√(BC²-AC²).

Подставляем известные значения:

  • AB=√( с²/Sin²β-c²) = √с²(1/ Sin²β-1) = с√(1/ Sin²β-1).

Отсюда находим синус угла С:

  • sinC=AB/BC = с√(1/ Sin²β-1)/ с/Sinβ = Sinβ √(1/ Sin²β-1)

Ответ:

  • sinC = Sinβ √(1/ Sin²β-1).
Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!