5.0 0.5 3 17

Как найти синус внешнего угла?

Наталья Козлова
Наталья Козлова
31 августа 2014
932
Оцените:
Как найти синус внешнего угла?

Синусы углов необходимо бывает вычислять не только в прямоугольном треугольнике, но и в любом другом. Для этого нужно провести высоту треугольника (перпендикуляр к одной из сторон, опущенный из противоположного угла) и решать задачу как для прямоугольного треугольника, используя в качестве одного из катетов высоту.

Как находить синус внешнего угла треугольника

Сначала нужно понять, что такое внешний угол. У нас есть произвольный треугольник АВС. Если одну из сторон, например, АС, продолжить за пределы угла ВАС и нарисовать луч АО, то новый угол ОАВ будет внешним. Вот его синус мы и будем искать.

Для решения задачи нам нужно из угла АВС опустить перпендикуляр ВН на сторону АС. Это будет высота треугольника. Ход решения задачи будет зависеть от того, что нам известно.

Самый простой вариант - если известен угол ВАС. Тогда задача решается предельно легко. Поскольку луч ОС – прямая, то угол ОАС=180°. Значит, угол ОАВ и ВАС – смежные, а синусы смежных углов равны по величине.

Рассмотрим другую задачу: в произвольном треугольнике АВС известна сторона: AB=a и высота ВН=h. Нужно найти синус угла ОАС. Поскольку у нас теперь получился прямоугольный треугольник АВН, синус угла АВН будет равен отношению катета ВН к гипотенузе АВ:

  • sinBAH = BH/AB = h/a.

Это тоже просто. Более сложная задача, если известна высота h и стороны AC=c, ВС=b, при этом нужно найти синус угла ОАВ.

По теореме Пифагора находим катет СН треугольника ВСН:

  • BC² = BH² + CH²   b² = h² + CH²,
  • CH² = b² - h², CH = √( b² - h²).

Отсюда можно найти отрезок АН стороны АС:

  • AH = AC - CH = c - √( b² - h²).

Теперь опять используем теорему Пифагора, чтобы найти третью сторону АВ треугольника АВН:

  • AB² = BH² + AH² = h² + (c - √( b² - h²))².

Синус угла ВАС равен отношению высоты ВН треугольника к стороне АВ:

  • sinBAC = BH/AH = h/( c - √( b² - h²)).

Поскольку углы ОАВ и ВАС смежные, их синусы равны по величине.

Так, комбинируя теорему Пифагора, определение синуса и некоторые другие теоремы (в частности, о смежных углах) можно решить практически большинство задач о треугольниках, в том числе найти синус внешнего угла. Иногда могут понадобиться дополнительные построения: провести высоту из нужного угла, продолжить сторону угла за его пределы и т.п.

Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!