5.0 0.5 4 47

Как найти среднюю линию трапеции?

Наталья Козлова
Наталья Козлова
1 октября 2014
4868
Оцените:
Как найти среднюю линию трапеции?

Отрезок прямой, соединяющей середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. О том, как найти среднюю линию трапеции и как она соотносится с другими элементами этой фигуры, мы расскажем ниже.

Теорема о средней линии

Нарисуем трапецию, в которой AD – большее основание, BC – меньшее основание, EF – средняя линия. Продолжим основание AD за точку D. Проведём линию BF и продолжим её до пересечения с продолжением основания AD в точке О. Рассмотрим треугольники ∆BCF и ∆DFO. Углы ∟BCF = ∟DFO как вертикальные. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, т.к. ВС // АО. Следовательно, треугольники ∆BCF = ∆DFO. Отсюда стороны BF = FO.пример 1

Теперь рассмотрим ∆АВО и ∆EBF. ∟ABO общий для обоих треугольников. BE/AB = ½ по условию, BF/BO = ½, поскольку ∆BCF = ∆DFO. Следовательно, треугольники ABO и EFB подобны. Отсюда отношение сторон EF/AO = ½, как и отношение других сторон.

Находим EF = ½ AO. По чертежу видно, что AO = AD + DO. DO = BC как стороны равных треугольников, значит, AO = AD + BC. Отсюда EF = ½ АО = ½ (AD + BC). Т.е. длина средней линии трапеции равна полусумме оснований.

Всегда ли средняя линия трапеции равна полусумме оснований?

Предположим, что существует такой частный случай, когда EF ≠ ½ (AD + BC). Тогда ВС ≠ DO, следовательно, ∆BCF ≠ ∆DCF. Но это невозможно, поскольку у них равны два угла и стороны между ними. Следовательно, теорема верна при всех условиях.

Задача о средней линии

Предположим, в нашей трапеции АВСD АD // ВС, ∟A=90°, ∟С = 135°, АВ = 2 см, диагональ АС перпендикулярна боковой стороне. Найдите среднюю линию трапеции EF.

Если ∟А = 90°, то и ∟В = 90°, значит, ∆АВС прямоугольный.

∟BCA = ∟BCD – ∟ACD. ∟ACD = 90° по условию, следовательно, ∟BCA = ∟BCD – ∟ACD = 135° - 90° = 45°.Пример 2

Если в прямоугольном треугольнике ∆АВС один угол равен 45°, значит, катеты в нём равны: АВ = ВС = 2 см.

Гипотенуза АС = √(АВ² + ВС²) = √8 см.

Рассмотрим ∆ACD. ∟ACD = 90° по условию. ∟CAD = ∟BCA = 45° как углы, образованные секущей параллельных оснований трапеции. Следовательно, катеты AC = CD = √8.

Гипотенуза AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 см.

Средняя линия трапеции EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 см.

Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!