5.0 0.5 3.5 37

Признаки подобия треугольников

Элина Хузина
Элина Хузина
27 февраля 2013
38709
Оцените:
Признаки подобия треугольников

Признаками подобия двух треугольников являются такие геометрические признаки, которые позволяют установить, что два неких треугольника являются подобными друг другу, без рассмотрения всех элементов.

Теорема 1

Первый признак подобия двух треугольников

 Треугольники подобны, если  хотя бы два угла в неком треугольнике соответственно равны двум углам в  другом треугольнике.

Доказательство

Если даны два треугольника: ABC и А1В1С1, где ∠A=∠A1 , и ∠B=∠B1. Тогда получается, что ∠C и ∠C1  также равны между собой. Давайте докажем, подобие △ABC и △A1B1C1.

Если отложить на стороне ВА отрезок ВА2, который будет равен отрезку A1B1 , и затем, провести прямую через точку А2, которая будет параллельна прямой АС. То эта прямая будет пресекать  отрезок ВС в точке, которую назовем С2 . Итак, треугольники А2ВС2 и А1В1С1   равны: А2В =А1В1 по построению, ∠В1 = ∠В по условию и ∠А2= ∠А1 , так как ∠А=∠А1 по условию и ∠А2 =∠А как соответственные углы. Согласно  лемме 1 о  подобных треугольниках (прямая, которая  параллельна одной из сторон треугольника и которая пересекает  две другие его стороны, отсекает  треугольник,  который подобен данному) будем иметь: △ABC ∼ △A2BC2 , таким образом, △A1B1C1 ∼△ABC. Значит, теорема доказана. Теоремы 2 и 3 доказываются по аналогичной схеме.

Теорема 2

Второй признак подобия треугольников.

Треугольники считаются подобными, если  две  из сторон одного треугольника будут соответственно пропорциональными двум сторонам второго треугольника. Также должно соблюдаться условие равенства углов между этими сторонами.

Теорема 3

Третий признак подобия треугольников.

Треугольники считаются подобными, если соблюдается условие пропорциональности  трех сторон одного из них трем сторонам второго.

Следствие 1 из теоремы 1. Если рассматривать подобные треугольники, то  их сходственные стороны будут пропорциональны высотам, которые будут опущены на сходственные стороны.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

  1. прямоугольные треугольники считаются подобными, если катет и гипотенуза одного из них пропорциональны катету и гипотенузе второго треугольника;
  2. подобными считаются прямоугольные треугольники, если острый угол одного из них равен острому углу второго треугольника.

Признаки подобия треугольников в примерах

Пример 1

Необходимо найти длину отрезка KP, если известно, что в треугольнике АВС,  длина стороны АС равна десяти, и на стороне АВ есть некая точка К, но АК =2, ВК=3. Через точку К проведена прямая, которая параллельна АС. Точка P лежит на ее пересечении со стороной ВС. Это ситуация, когда используются  признаки подобия треугольников. Урок с подобной задачкой обязательно встречается в каждой школе. Итак, если  в треугольнике есть прямая, проведенная параллельно одной стороне, то образуется треугольник, который  подобен данному. Треугольник КBР подобен треугольнику АBС. Доказывая это, заметим, что угол ВКР равен углу ВАС. В виду того, что это соответственные углы, которые лежат при параллельных КР и АС и секущей АК. Кроме этого, угол В - общий и, следовательно, третьи углы равны, угол ВРК и ВСА. Таким образом, согласно теореме о  первом признаке подобия треугольников, ∠ АВС подобен ∠КВР. Из этого следует, что КР / АС, стороны лежащие против ∠В, равно ВК / ВА стороны, стороны, которые лежат против равных ∠Р и ∠С. Следовательно, отрезок ВА найдем, складывая BК и АК. Подставляем сюда данные, получаем:  КР / 10 = 3 / 5  то есть, КР=6

Пример 2

Пусть в треугольниках ABC и А1В1С1, ∠В = ∠В1. Стороны АВ, ВС в треугольнике ABC больше в 2,5 раза сторон A1B1, B1C1, что в  треугольнике A1B1C1. Нужно найти АС и A1C1 , при условии, что их сумма равняется 4,2 м. Решение. По условию задачи запишем:

  1. ∠B=∠B1;
  2. AB/A1B1=BC/B1C1=2,5 Следовательно, △ABC∼△А1В1С1. По второму признаку подобия треугольников.
  3. AC+A1C1=4,2м. Из подобия этих треугольников получаем следствие AC/A1C1=2,5 , или АС=2,5xА1С1 Если АС = 2,5 x А1С1, то АС + А1C1 = 2,5 x А1С1 + A1C1 = 4,2, поэтому АС = 3 (м), A1C1 = 1,2 (м).

Пример 3

Необходимо выяснить, подобны ли треугольники А1В1С1 и  ABC если см, ВС = 5 см, АВ = 3, АС = 7 см, B1C1 = 7,5 см, А1В1 = 4,5 см, A1C1 = 10,5 см? Решение. ВС/ B1C1=5/7.5= 1/1.5 AB/ А1В1=3/4.5=1/1.5 АС/ A1C1=7/10.5=1/1.5

Значит, по третьему признаку, треугольники являются подобными. 

Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!