5.0 0.5 3 40

Признаки равенства треугольников

Элина Хузина
Элина Хузина
1 марта 2013
3975
Оцените:
Признаки равенства треугольников

Всем известно, что два отрезка будут равны, если их длины совпадают. Или окружности можно считать равными, если равны их радиусы. А каковы признаки равенства треугольников? 7 класс средней образовательной школы: на уроке геометрии школьники узнают, что, оказывается, есть элементы  при равенстве которых можно считать равными треугольники, их содержащие. Это очень удобно использовать при решении задач.

Первый признак равенства треугольников

Соблюдение условия соответственного равенства двух сторон и угла, который заключен между ними в одном треугольнике двум сторонам и углу, который заключен между ними в другом треугольнике, говорит о том, что такие треугольники являются равными.

Доказательство.

Если рассмотреть △ABC и △A1B1C1, где стороны AB =A1B1, BC= B1C1,

а ∠ABC равен ∠A1B1C1,

тогда △ A1B1C1 можно наложить на △ ABC таким образом, чтобы ∠ A1B1C1 совпал с ∠ABC. При этом треугольники совпадут полностью, ведь совпадут все их вершины.

 (Если это необходимо треугольник A1B1C1 можно заменить равным ему "перевернутым" треугольником, т. е. треугольником, симметричным A1B1C1.)

 Второй признак равенства треугольников

При условии, что одна сторона и два угла, которые прилежат к ней, в одном треугольнике соответственно равны стороне и двум углам, которые прилежат к ней в другом треугольнике, то такие треугольники считаются равными.

Доказательство.

Если в △ АВС и △А 1 В 1 С 1 будут иметь место следующие равенства

AB= A1B1,

∠BAC = ∠B1A1C1,

∠АВС= ∠А1В1С1.

Наложим друг на друга треугольники А1В1С1 и АВС таким образом, чтобы совпали равные стороны AB и A1B1 и углы, которые к ним прилегают. Как и в уже рассмотренном предыдущем примере, если это необходимо, треугольник А1В1С1 можно "перевернуть и приложить обратной стороной". Треугольники совпадут, а следовательно они могут считаться равными.

 Третий признак равенства треугольников

При условии, что три стороны у одного треугольника соответственно равны всем трем сторонам в другом треугольнике, то такие треугольники считаются равными. Доказательство.

Пусть для △ABC и △A1B1C1 справедливы равенства А1В1= АВ В1С1=ВС С1А1=СА Переместим треугольник А1В1С1 таким образом, что сторона А1В1 совпдет со стороной АВ, и вершины B1 и B, A1 и A, совпадут. Возьмем окружность с центром в A и радиусом AC, и вторую окружность с центром B и радиусом BC. Эти окружности пересекутся в двух симметричных относительно отрезка AB точках: точкой C и точкой C2. Значит, C1 после переноса треугольника A1B1C1 должна совпасть или с точками C, или с C2. Любом случае, это будет означать равенство△ ABC= △A1B1C1, так как треугольники △ABC =△ABC2 равны (ведь эти треугольники являются симметричными относительно отрезка AB.)

 Признаки равенства треугольников прямоугольных

В прямоугольных треугольниках угол между катетами – прямой, следовательно в любых прямоугольных треугольниках уже есть равные углы. Значит, справедливы будут следующие замечания.

  • Прямоугольные треугольники равны, если катеты одного из них соответственно равны катетам другого;
  • Прямоугольные треугольники равны, при соблюдении условия соответственного равенства гипотенуз и одного из катетов в этих треугольниках.

Если убрать из второго признака, который говорит о равенстве треугольников, условие о прилежащем к катету прямом угле (тат как прямые углы в треугольниках равны), имеем следующее:

  • такие треугольники равны, при условии, что катет а также острый угол, прилежащий к нему в одном прямоугольном треугольнике соответственно равны катету и острому углу, в другом прямоугольном треугольнике.

Известно, что сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180˚, а один из углов прямоугольного треугольника - прямой. Значит, если в двух прямоугольных треугольниках  острые углы равны, то и оставшиеся углы равны. Для обычных, не прямоугольных треугольников, для определения равенства фигур, достаточно знать, что равны соответственно одна сторона и два прилежащих к ней углам. В прямоугольном треугольнике можно рассматривать только один острый угол и гипотенузу для определения равенства фигур.

  • Прямоугольные треугольники будут равны при условии, что острый угол и гипотенуза одного из них равны острому углу и гипотенузе в другом. 

Удивительная наука - геометрия! Признаки равенства треугольников могут пригодиться не только для  школьных учебников, но и для решения ежедневных задач, которые решают взрослые люди в повседневной жизни.

Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!