5.0 0.5 5 34

Как найти высоту конуса?

Наталья Козлова
Наталья Козлова
18 сентября 2014
11178
Оцените:
Как найти высоту конуса?

Конус - это остроконечная фигура, в основании которой находится круг.  Внешне он напоминает колпак.  Высотой называют перпендикуляр, опущенный из вершины на основание конуса. Линия, соединяющая вершину конуса с основанием и проведённая перпендикулярно к плоскости основания, называется образующей.

Находим высоту конуса: алгоритм решения

Если задаче спрашивается, как найти высоту конуса, нам помогут свойства прямоугольного треугольника:

  1. Теорема Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов).
  2. Зависимость величины углов от катетов и гипотенузы: синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе; косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. 

Алгоритм решения задач о высоте конуса следующий:

  1. Начертить конус, провести высоту, обозначить все известные данные.
  2. Найти прямоугольный треугольник, образованный высотой и данными в задаче отрезками и углами. Если сразу не получается, сделать дополнительные построения.
  3. Применяя формулы для прямоугольного треугольника, найти высоту.

Как найти высоту конуса: примеры

Находим высоту прямого конуса

Если перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на его основание, попадает в центр круга, конус называется прямым. Итак, мы имеем конус с образующей l = 16. Угол между образующей и основанием равен 30 °.Пример

  1. Чертим прямой конус, высоту, образующую.
  2. Соединяем центр на основании конец высоты и образующей радиусом. Высота h и радиус основания – катеты прямоугольного треугольника, образующая – гипотенуза.
  3. Синус угла между гипотенузой-образующей и катетом-радиусом основания sin 30° = ½. Это отношение противолежащего катета – высоты h – и гипотенузы:
    • sin 30° = h/l = ½
    • h = sin 30°*l = ½ * 16 = 8.

Как найти высоту усечённого конуса

Усечённый конус получается, если у обычного конуса срезать вершину. Возьмём прямой усечённый конус. Диаметр верхнего основания d = 2, диаметр нижнего основания D = 4, образующая l = 4. Нужно найти высоту конуса h, т.е. расстояние между двумя пример 2основаниями.

  1. Чертим усечённый конус. Вертикальное сечение усечённого конуса – равнобедренная трапеция, и решать задачу надо, как задачу о трапеции.
  2. Посмотрим треугольник из высоты, образующей и отрезка диаметра а, который представляет собой разность между нижним и верхним диаметром, поделённую на два: а = (D – d)/2 = (4 – 2)/2 = 1.
  3. Отрезок диаметра – катет, высота h – второй катет – равен корню из разности квадратов гипотенузы и катета (теорема Пифагора):
    • h = √(l² - a²) = √(4² - 1²) = √15.
    • Ответ: h = √15.

Как находить высоту произвольного конуса

Предположим, у нас есть произвольный конус с основанием в виде круга. Вершина конуса выходит за пределы основания. Вертикальное сечение, проходящее через вершину и диаметр основания, представляет собой тупоугольный треугольник: две образующие l1 = 8 и l2 = 3  и диаметр D = 5. Высота h, опущенная из вершины, попадает на продолжение диаметра. Нужно найти высоту h.

Расстояние от вершины тупого угла до точки пересечения продолжения диаметра с высотой обозначим х. Получаем два прямоугольных треугольника:

  1. образующая l1 – диаметр плюс отрезок х – высота
  2. образующая l2 – отрезок х – высота.

Записываем, чему равна высота по теореме Пифагора:

  • h² = l1² - (D + x)² (1)
  • h² = l2² - x² (2)Пример 3

Получаем систему двух уравнений, причём правые части этих уравнений равны h² и равны между собой:

  • l1² - (D + x)² = l2² -  x²  

Раскрываем скобки:

  • l1² - D² - 2 D х - x² = l2² -  x²  

Сокращаем x²:

  • l1² - D² - 2 D х = l2²
  • 2D х = l2² - l1² + D²
  • х = (l2² - l1² + D²)/2D = (8² - 5² - 3²)/2*5 = (64 – 25 – 9)/10 = 3.

Подставляем х в выражение (2), находим h:

  • h² = l2² - x²
  • h = √(l2² - x²) = √(25 – 9) = 4
  • Ответ: h = 4
Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!