5.0 0.5 3 36

Как найти график функции?

Денис Мульчин
Денис Мульчин
27 февраля 2013
10021
Оцените:
Как найти график функции?

С задачей построения графика функции школьники сталкиваются в самом начале изучения алгебры и продолжают строить их из года в год. Начиная с графика линейной функции, для построения которой нужно знать всего две точки, к параболе, для которой нужно уже 6 точек, гиперболе и синусоиде. С каждым годом функции становятся все сложнее и построения их графиков уже невозможно выполнить по шаблону, необходимо проводить более сложные исследования, пользуясь производными и пределами.

Давайте разберемся, как найти график функции? Для этого начнем с самых простых функций, графики которых строятся по точкам, а потом рассмотрим план для построения более сложных функций.

Построение графика линейной функции

Для построения простейших графиков используют таблицу значений функции. Графиком линейной функции является прямая. Давайте попробуем найти точки графика функции y=4x+5.

  1. Для это возьмем два произвольных значения переменной x, подставим их поочередно в функцию, найдем значение переменной y и занесем все в таблицу.
  2. Возьмем значение x=0 и подставим в функцию вместо x - 0. Получим: y=4*0+5, то есть y=5 запишем это значение в таблицу под 0. Аналогично возьмем x=0 получим y=4*1+5, y=9.
  3. Теперь, чтобы построить график функции нужно нанести на координатную плоскость эти точки. Затем необходимо провести прямую.

Построение графика квадратичной функции

Квадратичная функция - это функция вида y=ax2+bx +c, где x-переменная, a,b,c - числа (a не равно 0). Например: y=x2, y=x2+5, y=(x-3)2, y=2x2+3x+5.

Для построения простейшей квадратичной функции y=x2 обычно берут 5-7 точек. Возьмем значения для переменной x: -2, -1, 0, 1, 2 и найдем значения y также как и при построении первого графика.

График квадратичной функции называют параболой. После построения графиков функции у учеников появляются новые задачи, связанные с графиком.

Пример 1: найдите абсциссу точки графика функции y=x2, если ордината равна 9. Для решения задачи необходимо в функцию вместо y подставить ее значение 9. Получим 9=x2 и решить это уравнение. x=3 и x=-3. Это можно увидеть и на графике функции.

Исследование функции и построение ее графика

Для построения графиков более сложных функций необходимо выполнить несколько шагов, направленных на ее исследование. Для этого необходимо:

  1. Найти область определения функции. Область определения - это все значения которые может принимать переменная x. Из области определения следует исключить те точки, в которых знаменатель обращается в 0 или подкоренное выражение становится отрицательным.
  2. Установить четность или нечетность функции. Напомним, что четной является та функция, которая отвечает условию f(-x)=f(x). Ее график является симметричным относительно Оу. Функция будет нечетной, если она отвечает условию f(-x)=-f(x). В этом случае график симметричен относительно начала координат.
  3. Найти точки пересечения с осями координат. Для того, чтобы найти абсциссу точки пересечения с осью Ох, необходимо решить уравнение f(x)=0 (ордината при этом равна 0). Чтобы найти ординату точки пересечения с осью Оу, необходимо в функцию вместо переменной x подставить 0 (абсцисса равна 0).
  4. Найти асимптоты функции. Асиптота - прямая, к которой график бесконечно приближается , но никогда ее не пересечет. Давайте разберемся, как найти асимптоты графика функции.
    • Вертикальная асимптота прямая вида х=а
    • Горизонтальная асимптота - прямая вида у=а
    • Наклонная асимптота - прямая вида y=kx+b
  5. Найти точки экстремума функции, промежутки возрастания и убывания функции. Найдем точки экстремума функции. Для этого необходимо найти первую производную и приравнять ее к 0. Именно в этих точках функция может поменяться с возрастающей на убывающую. Определим знак производной на каждом интервале. Если производная положительна, то график функции возрастает, если отрицательна - убывает.
  6. Найти точки перегиба графика функции, промежутки выпуклости вверх и вниз.

Найти точки перегиба теперь проще простого. Нужно лишь найти вторую производную, затем приравнять ее к нулю. Следом находим знак второй производной на каждом интервале. Если положительный, то график функции выпуклый вниз, если отрицательна - вверх.

Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!