5.0 0.5 4.8 50

Как найти корень уравнения?

Екатерина Ермолаева
Екатерина Ермолаева
19 сентября 2014
76610
Оцените:
Как найти корень уравнения?

Одним из основных разделов математики является раздел, посвященный решению уравнений и нахождению корня уравнений.

Перед тем как найти корень уравнения, нужно сначала разобраться, что это такое.

Корень уравнения - это значение неизвестной величины в уравнении, обозначаемой латинскими буквами (чаще - x, y, но могут быть и другие буквы). Об этом говорилось в нашей статье - Что такое корень уравнения.

Рассмотрим, как найти все корни, на разных видах уравнений и конкретных примерах.

Уравнение вида ax+b=0

Это линейное уравнение с одной переменной, где a и b - числа, x-корень уравнения.

Количество корней уравнения зависит от значений a и b:

  1. Если а=b=0, то уравнение имеет бесконечное количество корней.
  2. Если а=0, b не равно 0, то уравнение не имеет корней.
  3. Если а не равно 0, то корень находим по формуле: х= - (b/а)

Пример:

  • 5х + 2 = 0
  • а=5, b = 2
  • х= - (2/5)
  • х= -0,4

Ответ: корень уравнения равен 0,4

Уравнение вида ax²+bx+c=0.

Это квадратное уравнение. Есть несколько способов нахождения корней в квадратном уравнении. Мы рассмотрим общий, который подходит для решения при любых значениях а, b и с.

Для начала нужно найти значение дискриминанта (D) этого уравнения.

Для этого существует формула:

  • D = b2-4ac

В зависимости от того, какой поучился дискриминант, есть 3 варианта дальнейшего решения:

  1. Если D >0, то корней 2. И они вычисляются по формулам:
    • x1= (-b + √ D) / 2а.
    • х2= (-b - √ D) / 2a
  2. Если D =0, то корень один - его можно найти по формуле: х= - (b/2а)
  3. Если D<0, то уравнение не имеет корней.

Пример:

  • х2+3х-4=0

Здесь а=1, b=3, с= -4

  • D= 32 - (4*1*(-4))
  • D= 9- (-16)
  • D=9+16
  • D=25

D>0, значит в уравнении будет 2 корня.

  • √D=√25 = 5

Подставляем все значения в нашу формулу:

  • х1 = (-3 +5)/2*1
  • х1=2/2
  • х1=1
  • х2= (-3-5)/ 2*1
  • х2= (-8)/2
  • х2= -4

Ответ: Корни уравнения равны 1 и -4.

Уравнение вида ax3+bx2+cx+d=0

Это кубическое уравнение.

Есть специальные формулы математика Кардано, по которым можно решить такое уравнение, но они очень сложные. Мы пойдем другим, более понятным путем.

Кубические уравнения всегда имеют хотя бы один корень, и его значение обычно целое число от -3 до 3. То есть мы в имеющееся уравнение будем по очереди подставлять вместо х числа: -3, -2, -1, 0, 1, 2 и 3. Это будет Х1.

Это гораздо проще и быстрее, чем кажется, и уж точно проще, чем по формулам Кардано.

После того как мы найдем х1 , переходим к поиску Х2 и Х3.

Для этого поделим наше уравнение на (х-х1) - это можно сделать путем вынесения за скобки. У нас должно остаться квадратное уравнение, которое мы решали в этой статье чуть выше.

Пример:

  • х3 - 3х2 - 13х + 15 = 0

Методом подбора мы выясняем, что Х1=1, то есть мы должны поделить наше уравнение на (х-1)

В итоге получаем:

  • x2 - 2x - 15 = 0

У нас получилось квадратное уравнение. Решаем его так, как указано выше. И приходим к тому, что оно имеет 2 корня: - 3 и 5.

Ответ:

  • Корни уравнения: х1= 1, х2= -3, х3 =5.

Еще больше информации вы найдете в статье Как решать корни.

Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!