5.0 0.5 5 19

Что такое производная?

Надежда Манько
Надежда Манько
29 января 2013
9612
Оцените:
Что такое производная?

Производной функции называется базовый элемент в дифференциальном исчислении. Этот элемент и является определенным результатом применения какой-то определенной операции дифференцирования по отношению к исходной функции.

Определение производной

Для того, чтобы понять, что такое производная, необходимо знать, что название функции происходит непосредственно от слова «произведенная», то есть образовавшаяся от другой какой-либо величины. При этом сам процесс определения производной какой-то определенной функции имеет название - «дифференцирование». 

Наиболее распространенный метод представления и определения, при использовании теории пределов, несмотря на то, что она появилась гораздо позже дифференциальных исчислений. По определению данной теории, производной называется предел в отношении приращения функций к приращению аргумента, в случае если таковой предел имеется, и при условии, что данный аргумент стремится к нулевому значению. 

Принято считать, что, впервые, термин и понятие «производная» употребил в своих трудах известный русский математик по имени В.И.Висковатов.

Рассмотренный ниже небольшой пример поможет наглядно понять, что такое производная.

  1. Для поиска производной функции f в точке х, нам нужно определить значения данной функции непосредственно в точке х, а так же в точке х+Δх. Причем Δx – это приращения аргумента х.
  2. Найти приращение для функции у приравненное к f(х+Δх) – f(х).
  3. Записать производную при помощи предела отношения f’ = lim(f(x+Δх) – f(x))/Δх, исчислить при Δх → 0.

Обычно производная обозначается знаком апострофа - «’» непосредственно над дифференцируемой функцией. Обозначение в виде одного апострофа обозначает первую производную, в виде двух – вторую. Производную наивысшего порядка принято задавать соответствующей цифрой, к примеру f^(n) – что означает производную n-го порядка, где буква «n» – целое число , которое ? 0. Производная нулевого порядка - это и есть сама дифференцируемая функция.

С целью облегчения дифференцирования усложненных функций, были разработаны и приняты определенные правила дифференцирования функций:

  • С’ = 0, где С – обозначение константы;
  • х’ равняется 1;
  • (f + g)’ приравнивается f’ + g’;
  • (С*f)’ приравнено C*f’ и так далее.
  • Для N-кратного дифференцирования удобнее применять формулу Лейбница в виде : (f*g)(n) = Σ C(н)k*f(н-k)*gк, в которой С(н)к – обозначения биномиальных коэффициентов.

Производная и геометрия

Геометрическое осмысление производной заключается в том, что если для функции f имеется конечная производная в пункте х, то значение данной производной будет равняться тангенсу угла от наклона в касательной к функции f в данной точке.

Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!