5.0 0.5 4 29

Как решать биквадратное уравнение?

Samiko
Samiko
18 сентября 2014
1382
Оцените:
Как решать биквадратное уравнение?

Прежде чем приступить к решению биквадратного уравнения, стоит разобраться, как оно выглядит и чем отличается от классического квадратного уравнения. Уравнение вида ax4 + bx2 + c = 0 называется биквадратным с одной переменной (алгебраическое уравнение четвертой степени). Чтобы привести уравнение к квадратному виду и решить через дискриминант, необходимо воспользоваться заменой переменной:

  • т.е.: x2 = t

И тогда мы имеем стандартное уравнение вида at2 + bt + c=0

Дискриминант рассчитываем по формуле D = b- 4ac.

  1. В случае, когда D = 0, уравнение имеет один единственный корень t1 = -b/2a, и отсюда получаем искомое решение нашего  уравнения x = sqrt (t1).
  2. Если D > 0 , уравнение имеет два корня t1 = (-b + sqrt (D)) / 2a и t2 = (-b - sqrt (D)) / 2a . Не забываем о введенной переменной, и получаем конечное решение x1,2 = sqrt( t1) и x3,4 = sqrt (t2)

Важное замечание: если какое-либо из значений ti < 0, то при D = 0 изначальное биквадратное решение не имеет действительных корней, а при D > 0 - максимум один единственный действительный корень.

С помощью теоремы Виета

Полезно знать: в случае, когда мы имеем приведенное квадратное уравнение (коэффициент при t2 = 1), применима теорема Виета, и поиск решения сводится к минимуму действий:

  • t1 + t2 = -b
  • t1 * t2 = c

Рассмотрим пример:

  • x4 - 3x2 + 2 = 0

используя замену переменной x2 = t, приводим квадратное уравнение к виду t2 - 3t; + 2 = 0.

  • D = (-3)2 - 4*1*2 = 1.

Корни квадратного уравнения t1 = 2, t2 = 1.

Учитывая введенную замену переменной, получаем решение искомого биквадратного уравнения: t1 = sqrt(2); t2 = -sqrt(2); t3 = 1; t4 = -1.

К данному заданию можно применить теорему Виета, поскольку коэффициент при переменной со старшей степенью равен 1:

  • t1 + t2 = 3
  • t1 * t2 = 2

Отсюда t1 = 2, t2 = 1. Как мы видим, корни квадратного уравнения в обоих случаях совпадают, а значит, решение биквадратного уравнения будет таким же.

В данной статье мы рассмотрели частный случай решения биквадратного уравнения, который решается не сложнее классического квадратного уравнения.

Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!