5.0 0.5 4 32

Как находить пределы?

Наталья Козлова
Наталья Козлова
19 сентября 2014
7023
Оцените:
Как находить пределы?

Существует в математике такое понятие, как предел функции. Чтобы понимать, как находить пределы, нужно помнить определение предела функции: функция f (x) имеет предел L в точке x = a, если для каждой последовательности значений х, сходящейся к точке a, последовательность значений у приближается к:

  • L lim f(x) = L
  • х→a

Понятие и свойства пределов

Что такое предел, можно понять из примера. Предположим, мы имеем функцию у=1/х. Если мы будем последовательно увеличивать значение х и смотреть, чему равен у, то получим всё уменьшающиеся значения: при х=10000 у=1/10000; при х=1000000 у=1/1000000. Т.е. чем больше х, тем меньше у. Если х=∞, у будет настолько мал, что его можно будет считать равным 0. Таким образом, предел функции у=1/х при х стремящемся к ∞ равен 0. Записывается это так:

  • lim1/х=0
  • х→∞

Предел функции имеет несколько свойств, которые нужно помнить: это существенно облегчит решение задач на нахождение пределов:

  • Предел суммы равен сумме пределов: lim(x+y)=lim x+lim y
  • Предел произведения равен произведению пределов: lim(xy)=lim x*lim y
  • Предел частного равен частному от пределов: lim(x/y)=lim x/lim y
  • Постоянный множитель выносят за знак предела: lim(Cx)=C lim x

У функции у=1 /x, в которой x →∞, предел равен нулю, при x→0, предел равен ∞.

  • lim (sin x)/x=1 x→0

В статье Как решать пределы подробно рассказывается методика решения таких задач. А мы рассмотрим несколько примеров.

Решение примеров на пределы

Начинать находить пределы функций надо всегда с подстановки в функцию того значения х, к которому он стремится.

Пример 1

  • Lim (х-3) = lim (3-3) = 0
  • х→3

Пример 2

  • Lim [х²/(1-х)]. Если подставить х=∞, получим
  • х→∞
  • ∞²/(1-∞) = ∞²/(-∞).

Одну бесконечность в числителе и знаменателе сокращаем:

  • ∞/(-1) = -∞. Значит,
  • Lim [х²/(1-х)] = -∞.
  • х→∞

В этих примерах всё просто. Однако обычно пределы функций ищут при таких значениях х, которые создают неопределённость типа 0/0 или ∞/∞. Такие неопределённости нужно раскрывать.

Пример 3

  • Lim [(2х² - 3х – 5)/(1 + х + 3х²)]
  • х→∞

Подставляем х=∞ и получаем в числителе и знаменателе бесконечность, и там, и там в квадрате. Значит, получилась неопределённость типа ∞/∞.

Попробуем сначала разделить обе части дроби на старшую степень - х²:

  • Lim {[(2х² - 3х – 5)/x²]/[(1 + х + 3х²)/x²]} =
  • х→∞
  • = Lim {[(2х²/x²) – (3х/x²) – (5/x²)]/[(1/x²) +( х/x²) + (3х²/x²)]} =
  • х→∞
  • Lim {[2 – (3/x) – (5/x²)]/[(1/x²) +(1/x) + 3]}
  • х→∞
  • При х = ∞ 3/х = 0; 5/х² = 0; 1/x² = 0; 1/x = 0.

Значит, из всей страшной четырёхэтажной дроби у нас остались:

  • Lim 2/3 = 2/3.

Ответ:

  • Lim [(2х² - 3х – 5)/(1 + х + 3х²)] = 2/3
  • х→∞

В этом примере можно было воспользоваться свойствами пределов и преобразовать предел частного в частное пределов, а затем пределы суммы в числителе и знаменателе представить как сумму пределов.

Если надо найти предел сложной формулы, с которой неизвестно, что делать, или просто некогда, можно воспользоваться сервисом онлайн.

Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!