5.0 0.5 5 22

Как найти область значения функции?

Наталья Козлова
Наталья Козлова
19 сентября 2014
24825
Оцените:
Как найти область значения функции?

Функцию можно построить по точкам: подставлять в формулу значение переменной и ставить на графике соответствующие точки. Но при этом нет никакой гарантии, что вы не пропустите точку экстремума или разрыва. Да и процесс это долгий и нудный. Поэтому гораздо рациональнее найти область определения, область значений и все критические точки функции. Поговорим об этом подробнее.

Что такое область значения функции

Область значения функции y=f(x) – это множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех значений х из области определения х € Х. Обозначается область значения как Е y=f(x).

Про область определения написано в статье Как найти область определения функции. Эти две области иногда путают, что недопустимо. Чтобы лучше понять, что это такое, рассмотрим конкретные примеры.

Например, функция y=f(x)=sinx. Для наглядности можно нарисовать синусоиду. Тогда мы увидим, что х может изменяться от -∞ до +∞, y=f(x) определена при х € -∞; +∞. При этом f(x) изменяется от -1 до +1, других значений она не принимает. Значит, область определения функции х € -∞; +∞, область значения Е у = -1; +1. Т.е. область определения – это значения х, при которых функция существует. А область значения – это те значения функции, которые она принимает во всей области определения.

Рассмотрим другой простой пример: у=1/х. Рисовать гиперболы мы тоже умеем и знаем, что при х=0 значение функции не определено, т.е. в этой точке она не существует. При х=0 мы имеем разрыв функции. Значит, область определения х € (-∞ < 0; 0 < ∞), область значения Е у = (-∞ < 0; 0 < ∞).

Если мы знаем область определения функции, нам нужно найти максимальное и минимальное значение функции – это и будет область значений.

Как найти область значений функции: пример

  • Имеем функцию у = 1 / (х² - 4).

Сначала ищем производную функции, чтобы найти точки экстремумов.

  • у' = (1 / (х² - 4)) ' = -2х / (х² - 4)².

Из этого выражения следует, первая точка экстремума при х = 0, т.к. в этой точке производная меняет знак. Т.к. знак меняется с + на -, это максимум.

Максимальное значение функции при х = 0:

  • у = 1 / (х² - 4) = у = 1 / (0² - 4) = -1 / 4.
  • y max = -1/4.

Теперь найдём точки разрыва функции, которые бывают, когда знаменатель производной равен 0.

  • (х² - 4)² = 0.

Раскладываем выражение на множители:

  • (х - 2)(х+2) = 0

Корни уравнения: х = 2; -2. Значит, это точки разрыва функции. Определяем, к чему стремится функция в этих точках.

  • Lim (1 / (х² - 4)) = lim1(1 / (х – 2)(х + 2)) = lim (1 / (2 – 2)(2 + 2)) = lim ((1/0)(-1/4)) = -∞ .
  • x → -+2

В точках разрыва функция стремится к минус бесконечности:

  • При х = +-2 у = 1 / (х² - 4) → - ∞

Значит, в интервале х = (-2; 0) у возрастает от -∞ до -1/4, а в интервале х = (0; 2) у убывает от -1/4 до ∞. Область значений функции:

  • Е у = (-∞; -1/4).

Общий алгоритм для определения области значения функций

  1. Берём производную функции для того, чтобы найти критические точки: максимум, минимум, точки разрыва.
  2. Находим значение функции в точках экстремумов.
  3. Находим значение пределов функции в точках разрыва.
  4. Определяем область значений функции. Это легче делать на графике.

Но если на нет времени, можно также найти область определения функции онлайн, это легко и быстро.

Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!