5.0 0.5 4 15

Как найти производную?

Маргарита Черкасова
Маргарита Черкасова
17 января 2013
30492
Оцените:
Как найти производную?

Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции.

Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию.

Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др.

Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g' означает, что мы будем находить производную функции g.

Таблица производных

Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.

  1. С'=0
  2. (sin x)'=cos x
  3. (cos x)'= –sin x
  4. (xn)'=n xn-1
  5. (ex)'=ex
  6. (ln x)'=1/x
  7. (ax)'=axln a
  8. (logax)'=1/x ln a
  9. (tg x)'=1/cos2x
  10. (ctg x)'= – 1/sin2x
  11. (arcsin x)'= 1/√(1-x2)
  12. (arccos x)'= - 1/√(1-x2)
  13. (arctg x)'= 1/(1+x2)
  14. (arcctg x)'= - 1/(1+x2)

Пример 1. Найдите производную функции y=500.

Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1).

(500)' = 0

Пример 2. Найдите производную функции y=x100.

Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3).

(x100)'=100 x99

Пример 3. Найдите производную функции y=5x

Это показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4.

(5x)'= 5xln5

Пример 4. Найдите производную функции y= log4x

Производную логарифма найдем по формуле 7.

(log4x)'=1/x ln 4

Правила дифференцирования

Давайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для нахождения их производных необходимо знать правила дифференцирования. Далее буквами f и g обозначены функции, а С - константа.

1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной

(С f)'=С f'

Пример 5. Найдите производную функции y= 6*x8

Выносим постоянный коэффициент 6 и дифференцируем только x4. Это степенная функция, производную которой находим по формуле 3 таблицы производных.

(6*x8)' = 6*(x8)'=6*8*x7=48* x7

2. Производная суммы равна сумме производных

Тогда:

(f + g)'=f' + g'

Пример 6. Найдите производную функции y= x100+sin x

Функция представляет собой сумму двух функций, производные которых мы можем найти по таблице. Так как (x100)'=100 x99 и (sin x)'=cos x. Производная суммы будет равна сумме данных производных:

(x100+sin x)'= 100 x99+cos x

3. Производная разности равна разности производных

(f – g)'=f' – g'

Пример 7. Найдите производную функции y= x100 – cos x

Эта функция представляет собой разность двух функции, производные которых мы также можем найти по таблице. Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)'= – sin x.

(x100 – cos x)'= 100 x99 + sin x

Пример 8. Найдите производную функции y=ex+tg x– x2.

В этой функции есть и сумма и разность, найдем производные от каждого слагаемого:

(ex)'=ex, (tg x)'=1/cos2x, (x2)'=2 x. Тогда производная исходной функции равна:

(ex+tg x– x2)'= ex+1/cos2x –2 x

4. Производная произведения

(f * g)'=f' * g + f * g'

Пример 9. Найдите производную функции y= cos x *ex

Для этого сначала найдем производного каждого множителя (cos x)'=–sin x и (ex)'=ex. Теперь подставим все в формулу произведения. Производную первой функции умножим на вторую и прибавим произведение первой функции на производную второй.

(cos x* ex)'= excos x – ex*sin x

5. Производная частного

Тогда:

(f / g)'= f' * g – f * g'/ g2

Пример 10. Найдите производную функции y= x50/sin x

Чтобы найти производную частного, сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно: (x50)'=50 x49 и (sin x)'= cos x. Подставив в формулу производной частного получим:

(x50/sin x)'= 50x49*sin x – x50*cos x/sin2x

Производная сложной функции

Сложная функция - это функция, представленная композицией нескольких функций. Для нахождения производной сложной функции также существует правило:

(u (v))'=u'(v)*v'

Давайте разберемся как находить производную такой функции. Пусть y= u(v(x)) - сложная функция. Функцию u назовем внешней, а v - внутренней.

Например:

y=sin (x3) - сложная функция.

Тогда y=sin(t) - внешняя функция

t=x3 - внутренняя.

Давайте попробуем вычислить производную этой функции. По формуле необходимо перемножить производные внутренней и внешней функции.

(sin t)'=cos (t) - производная внешней функции (где t=x3)

(x3)'=3x2 - производная внутренней функции

Тогда (sin (x3))'= cos (x3)* 3x2- производная сложной функции.

Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!