5.0 0.5 4 40

Как решать логарифмические уравнения?

Евгений Фогов
Евгений Фогов
20 февраля 2013
12801
Оцените:
Как решать логарифмические уравнения?

Все знают, зачем нужна математика. Однако многим людям требуется помощь в решении математических задач и уравнений. Прежде чем рассказать, как решать логарифмические уравнения, нужно понять, что они из себя представляют. Уравнения, которые содержат в себе неизвестную в основании логарифма или под его знаком, называются логарифмическими уравнениями. Уравнение, имеющие вид: logaX = b, или те, которые можно свести к такому виду, принято считать простейшими логарифмическими уравнениями.

Правильное решение

Для правильного решения таких уравнений, необходимо помнить о свойствах любой логарифмической функции:

  • множество действительных чисел (область значения)
  • множество положительных чисел (область определения)
  • в случае, когда "а" больше 1, происходит строгое возрастание логарифмической функции, если меньше – убывание
  • при заданных параметрах: loga "a" равняется 1, а также loga 1 равняется нулю, нужно учитывать что «а» не будет равна 1, и будет больше 0.

Правильное решение логарифмических уравнений напрямую зависит от понимания самого логарифма. Возьмем пример: 5х=11. Х является числом, в которое необходимо возвести 5, чтобы получилось 11. Это число называется логарифмом 11 по основанию 5 и записывается это в следующем виде: х=log511. Таким образом, нам удалось решить показательное уравнение: 5х=11, получив ответ: х=log511.

Логарифмические уравнения

Уравнение, которое имеет логарифмы, называется логарифмическим уравнениям. В этом уравнении неизвестные переменные, а также выражения с ними, расположены внутри самих логарифмов. И нигде больше! Примеры логарифмических уравнений: log2x=16, log5(x3-7)=log5(3x), lg3(x+3)+20=15lg(x+5) и т.д. Не забывайте, что различные выражения с х-ми могут находиться только внутри заданного лагорифма.

Избавляемся от логарифмов

Методы решения логарифмических уравнений применяются в соответствии с имеющейся задачей, а сам процесс решения в целом, является весьма непростым занятием. Давайте начнем с элементарных уравнений. Простейшие логарифмические уравнения имеют следующий вид:

  • logx-21=11
  • log5 (70x-1)=2
  • log5x=25

Решение логарифмического уравнения предполагает собой переход от уравнения с логарифмами, к уравнению в которых их нет. И в простейших уравнениях это можно сделать за один шаг. Именно по этой причине их и называют простейшими. К примеру, нам нужно решить следующее уравнение: log5x = log52. Для этого нам не нужны особые знания. В данном примере нам нужно избавиться от логарифмов, которые и портят нам всю картину. Убираем логарифмы и получаем: х=2. Таким образом, и в дальнейшем необходимо убирать ненужные логарифмы, если это возможно. Ведь именно такая последовательность и позволяет решать логарифмические неравенства и уравнения. В математике такие действия принято называть потенцированием. Но такое избавление от логарифмов имеет свои правила. Если логарифмы не имеют никаких коэффициентов (т.е. заданы сами по себе), а также при их одинаковом числовом основании – логарифмы можно убирать.

Помните, после того, как мы ликвидировали логарифмы, у нас остается упрощенное уравнение. Давайте решим еще один пример:

log9 (5x-4)-log9x. Потенцируем и у нас получается:

  • 5х-4=х
  • 5х=х+4
  • 4х=4
  • х=1

Как видим, удалив логарифмы, мы получили обычное уравнение, решить которое уже не составляет особого труда. Теперь можно перейти к более сложным примерам: log9 (60x-1)=2. Нам нужно обратиться к логарифму (число, в которое возводится основание, в нашем случае 9) для получения подлогарифменного выражения (60х-1). Наш логарифм равняется 2. Следовательно: 92=60х-1. Логарифма больше нет. Решаем полученное уравнение: 60х-1=59, х = 1.

Этот пример мы решили соответственно смыслу логарифма. Следует отметить, что из любого заданного числа можно сделать логарифм, причем необходимого вида. Такой метод является весьма полезным в решении неравенств и логарифмических уравнений. Если же в уравнении нужно найти корень, давайте разберем, как это можно сделать: log5(18 – x) = log55

Если в нашем уравнении у обоих сторон уравнения есть логарифмы, имеющие одинаковую основу, то можно приравнять выражения, которые стоят под знаками наших логарифмов. Убираем общую основу: log5. Получаем простое уравнение: 18 –х = 5, х = 13.

На самом деле, решать логарифмические уравнения не так уж и сложно. Даже учитывая тот факт, что свойства логарифмических уравнений могут существенно отличаться, все равно – нерешаемых заданий не бывает. Необходимо знать свойства самого логарифма, а также уметь их правильно применять. Не нужно спешить: вспоминаем вышеприведенные инструкции и приступаем к решению поставленных задач. Ни в коем случае не нужно пугаться сложного уравнения, Вы обладаете всеми необходимыми знаниями и ресурсами для того, чтобы без труда справиться с любым из них.

Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!