5.0 0.5 3 34

Как решать системы уравнений?

Елена Щугорева
Елена Щугорева
23 апреля 2013
10742
Оцените:
Как решать системы уравнений?

Система уравнений — на первый взгляд, абсолютно бесполезная и ненужная в жизни вещь. Но если всмотреться в суть процессов, происходящих вокруг нас, в природе, в достижениях науки и техники, становится ясно — это не так. Почти любое явление может быть описано системой уравнений, начиная от дождя весной, заканчивая полетами астероидов в космосе. А, как известно, явление, для которого определено достаточно точное описание,  может быть предсказано.

Что такое система уравнений

Системой называется некоторое количество обычных уравнений, которые должны выполняться одновременно. На письме система обозначается фигурной скобкой с левой стороны, объединяющей все уравнения. А как решать систему уравнений? Благодаря тому, что все уравнения каждой данной системы должны быть в силе вместе, открываются несколько способов переиначить, преобразовать систему, не изменив её корней. Такие преобразования называются эквивалентными. Например, есть система «х + у = 2 ; х - у = 0» Очевидно, её корни «х = 1 ; у = 1». Рассмотрим эквивалентные преобразования.

Сложение

Решить систему уравнений методом сложения проще всего. Прибавим к первому уравнению второе, причём полностью — и левую и правую части. Получим систему «2*х + 0*у = 2 + 0 ; х - у = 0». В первом уравнении системы находим корень х = 1. Подставляем его во второе уравнение и получаем значение второй переменной у = 1. Система решена. Следует помнить, что перед сложением уравнение можно полностью умножить на константу, что также является эквивалентным преобразованием. И эта константа не обязательно должна быть положительной.

Подстановка

Если же задание звучит как «решите систему уравнений методом подстановки» - всё несколько хуже. Метод подстановки более гормоздок по сравнению с методом сложения и на одну небольшую систему может уйти не один тетрадный лист. Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки, надо взять одно из уравнений (для удобства — первое) и выразить из него одну из переменных (для удобства снова первую). Получится уравнение вида «х = 2y + 7z + 9a -2b - 11» Теперь во всех остальных уравнениях вместо х подставляем подобранное для него выражение «2y + 7z + 9a -2b - 11», не забывая умножить его на числовой коэффициент при х в исходном уравнении. Получаем уравнение, выражающее х и несколько уравнений, от х не зависящих. Затем аналогичную операцию проделываем для всех переменных. В последнем уравнении окажется явно выражена последняя переменная, такова особенность этого метода. И, как следствие, её можно найти. Зная последнюю переменную, можно подставить её численное значение в предпоследнее уравнение и найти уже предпоследнюю переменную. Продолжая такие махинации, можно найти все переменные. При решении заданий на такой метод, следует быть очень внимательным — в этой массе арифметических операций сложно не запутаться и не допустить досадной ошибки. Для проверки правильности решения можно использовать сервис Wolfram Alpha. Это мощный вычислительный центр, который может дать ответ на самые разнообразные  запросы, надо только описать задачу так, чтобы компьютер её понял. К примеру, чтобы задать ему систему уравнений, надо ввести уравнения, разделяя их точками с запятой. 

Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!