5.0 0.5 3 16

Как считать матрицу?

Любовь Полищук
Любовь Полищук
11 марта 2013
3571
Оцените:
Как считать матрицу?

Под определением матрицы понимают такую прямоугольного типа таблицу из чисел, которая содержит заданное количество m строк и заданное количество n столбцов. Когда m и n имеют равнозначные числа (например, 3×3 матрица), то говорят, что данная матрица - квадратная. О том, как считать матрицу, определять её ранг и находить определить (на примере матрицы с параметрами 3×3) и будет эта статья. Обозначают любые матрицы чаще всего заглавными латинскими буквами, к примеру,  A либо A = (aij), где значение (aij) является матричным элементом, а параметры j и i – записываются как номер столбца и строки соответственно.

Как считать определитель матрицы

Детерминант, а проще говоря - определитель матрицы, являет собой одну из основных характеристик квадратной матрицы. В матрице, размер которой определен данными n×n, параметр определителя соответствует n-мерному объёму шестигранника (параллелепипеда), натянутому на матричные векторы-строки (либо столбцы).

Определитель выражается для подобной матрицы как многочлен N степени от матричных элементов, определяющегося суммой произведений элементов конкретной  матрицы со всеми допустимыми комбинациями различных между собой номеров матричных строк и столбцов. Вдобавок к этому, каждое произведение содержит ровно один элемент, взятый из любого столбца и строки. С учетом чётности перестановки номеров, каждому произведению приписывается положительный, либо отрицательный знак.

Представляется формула расчета определителя матрицы таким образом: det(A) = |A| = i=1n!(-1)p(i) × a1k(i1)a1k(i2)...ank(in), в которой данные det(A) являются определителем, а kij характеризуется как i-я перестановка следующей последовательности 1k = 1,..,n, что условно определяется как: k1j = j. Также p(i)  содержит данное о количестве перестановок пар номеров (проделанных в последовательности k1j), необходимых для преобразования её в последовательность kij.

Из данного выделяются определенные особенности построения выражения с целью нахождения определителя для матрицы n×n. Их всегда следует учитывать и знать.

Пример: вычислить определитель для матрицы с параметрами 3×3 можно построением шести произведений: |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32

Как считать ранг матрицы

Наивысший порядок минора матрицы, не равный «0» носит название ранга матрицы. Он записывается так: Rank(A), либо Rg(A), а также Rang(A), где А – это имя матрицы. Существует три метода нахождения ранга для матрицы:

  • расчет по определению;
  • методом окаймляющих миноров;
  • используя элементарные преобразования матрицы (метод Гаусса).

Пример: ранг матрицы 3х3 являет собой количество строк, которые линейно независимы. В этом варианте: 2-я строка равна значению 1-й, но умноженной на -1. Третья же строка равна 1-й, помноженной на цифру - 3. Из чего следует: линейно независимая строка 1, и  соответственно ранг = 1.

Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты!